대칭 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 예
4. 대칭화
5. 응용
- 5.1. U-통계량
참조

1. 개요

대칭 함수는 임의의 순열에 대해 변수의 값을 바꿔도 함수값이 변하지 않는 다변수 함수이다. 모든 대칭 다항식에서 유도되는 함수는 대칭 함수이며, 변수의 순서를 바꾸어도 함수식이 동일하게 유지된다. 주어진 함수를 대칭화하여 대칭 함수를 만들 수 있으며, 통계학에서 U-통계량을 구성하는 데 활용된다.

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대칭 함수
개요
유형	함수
분야	대수학, 조합론
정의
대칭 함수	변수들의 순서를 바꾸어도 값이 변하지 않는 함수
변수	x1 x2 x3 ...
예시
기본 대칭 다항식	e1 = x1 + x2 + x3 + ... e2 = x1x2 + x1x3 + x2x3 + ... e3 = x1x2x3 + ...
멱합 대칭 다항식	p1 = x1 + x2 + x3 + ... p2 = x1^2 + x2^2 + x3^2 + ... p3 = x1^3 + x2^3 + x3^3 + ...
성질
대칭 함수의 대수	대칭 함수들은 대수를 이룸
기저	기본 대칭 다항식 멱합 대칭 다항식 완전 동차 대칭 다항식 슈어 다항식
관련 개념
반대칭 함수	변수들의 순서를 바꾸면 부호가 바뀌는 함수
대칭 다항식	유한 개의 변수를 가지는 대칭 함수
슈어 함수	대칭 함수의 일종

2. 정의

'''대칭 함수'''는 다음 조건을 만족시키는 $n$ 변수 함수 $f(x_1,\dots,x_n)$ 이다.

임의의 순열 $\sigma\in S_n$ 및 임의의 수 $x_1,\dots,x_n$ 에 대하여, $f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)})=f(x_1,\dots,x_n)$

예를 들어, 3변수 대칭 함수

f(x,y,z)

는 항상 다음을 만족시킨다.

:

f(x,y,z)=f(x,z,y)=f(y,x,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)=f(z,y,x)

3. 예

모든 대칭 다항식으로부터 유도되는 함수는 대칭 함수이다.

다음의 실수 함수를 고려해 보자.

::

f(x_1,x_2,x_3) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).

정의에 따르면,

n

개의 변수를 가진 대칭 함수는

::

f(x_1,x_2,\ldots,x_n) = f(x_2,x_1,\ldots,x_n) = f(x_3,x_1,\ldots,x_n,x_{n-1}), \quad \text{ etc.}

와 같은 성질을 가진다. 일반적으로, 함수는 변수의 모든 순열에 대해 동일하게 유지된다. 즉, 이 경우,

::

(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = (x-x_2)(x-x_1)(x-x_3) = (x-x_3)(x-x_1)(x-x_2)

와 같이

x_1, x_2, x_3

의 모든 순열에 대해 성립한다.

다음의 함수를 고려해 보자.

::

f(x,y) = x^2 + y^2 - r^2.

x

와

y

가 서로 바뀌면, 함수는 다음과 같이 된다.

::

f(y,x) = y^2 + x^2 - r^2,

이는 원래의

f(x, y)

와 정확히 동일한 결과를 낳는다.

이제 다음의 함수를 고려해 보자.

::

f(x,y) = ax^2+by^2-r^2.

x

와

y

가 서로 바뀌면, 함수는 다음과 같이 된다.

::

f(y,x) = ay^2 + bx^2 - r^2.

만약

a \neq b

이면, 이 함수는 원래의 함수와 동일하지 않으므로 비대칭 함수이다.

4. 대칭화

어떤 아벨 군에 값을 갖는 $n$ 개의 변수를 가진 함수 $f$ 가 주어지면, 인수의 모든 순열에 대한 $f$ 의 값을 합하여 대칭 함수를 구성할 수 있다. 마찬가지로, 짝순열에 대한 합을 구하고 홀순열에 대한 합을 빼서 반대칭 함수를 구성할 수 있다. 이러한 연산은 가역적이지 않으며, 자명하지 않은 함수 $f$ 에 대해 동일하게 0이 되는 함수를 초래할 수 있다. $f$ 의 대칭화와 반대칭화가 모두 알려진 경우 $f$ 를 복구할 수 있는 유일한 일반적인 경우는 $n = 2$ 이고 아벨 군이 2로 나누기(두 배의 역수)를 허용하는 경우이다. 그러면 $f$ 는 대칭화와 반대칭화의 합의 절반과 같다.

5. 응용

(주어진 원본 소스가 없으므로, 이전 결과와 동일하게 응용 섹션은 비어 있는 상태로 유지됩니다.)

5. 1. U-통계량

통계학에서, n^영어개의 변수를 갖는 함수인 n^영어 표본 통계량은, k^영어 표본 통계량의 부트스트래핑 대칭화를 통해 얻어진다. n^영어개의 변수에 대한 대칭 함수를 생성하며, 이를 U-통계량이라고 한다. 표본 평균과 표본 분산 등이 그 예시이다.

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